生活中一般不会直接推断一个事件发生的概率，因为并不容易推断出结果。例如“足球赛平局的概率是多少？”这个问题很难回答，因为并没说清是哪场比赛平局的概率，或者还是指历史上所有足球赛中平局的概率。一般而言，现实中的事件总是不会孤立发生的，而是伴随着条件发生的。
条件概率
条件概率的具体描述是：在事件$B$发生的前提下，事件$A$发生的概率，记作$P(A|B)$。也可以理解为在事件$B$发生的前提下，事件$A, B$同时发生的概率，所以$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$。
事件的独立性
从条件概率引出了事件的独立性，如果事件$A, B$是有关联的，则$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$成立，可以说事件$B$影响了事件$A$的概率的计算。但如果事件$A, B$相互独立，代表了事件$A, B$之间没有什么关系，就像“今天足球赛平局的概率”和“你今天吃烧烤的概率”关联并不大，那你今天吃什么就不大会对比赛结果造成影响，事件$B$对事件$A$造成不了影响，于是$P(A|B)$就依然等于$P(A)$，即$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = P(A) \Rightarrow P(AB) = P(A)P(B)$，所以$P(AB) = P(A)P(B)$就成了判断两个事件是否相互独立的条件，而一般情况下应该是$P(AB) = P(A|B)P(B)$。
全概率公式
我们想看看各种事件对事件$A$造成的影响，而不是仅有一个事件$B$，假设有事件$B_1, B_2, \dots, B_n$，他们的总和构成了全体事件$\Omega$，他们之间是相互独立的（即不会互相影响，方面描述），用表达式描述如下：
因为$\Omega$为全体事件，所以$P(A) = P(A\Omega) = P(AB_1 + AB_2 + \cdots+ AB_n)$，因为$B_1, B_2, \dots, B_n$相互独立，所以$AB_1, AB_2, \dots, AB_n$之间也相互独立，所以$P(AB_1 + AB_2 + \cdots+ AB_n) = P(AB_1) + P(AB_2) + \cdots+ P(AB_n)$，再使用条件概率公式得$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \cdots+ P(A|B_n)P(B_n) = \sum\limits_{i = 1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$，即全概率公式。全概率$P(A)$是各条件概率$P(A|B_k)$以$P(B_k)$为权重的加权平均值。
贝叶斯公式
全概率公式可以看作是通过事件$B_1, B_2, \dots, B_n$去推断事件$A$发生的概率，贝叶斯公式则是反过来，如果事件$A$发生了，我想知道事件$B_k$在事件$A$的发生中起了多大作用，即$P(B_k|A)$，计算一下“今天足球赛平局是你吃烧烤造成的概率”。进一步使用全概率公式推导如下：
$P(B_k)$被称作先验概率，指的是在没有别的前提信息情况下的概率值，$P(B_k|A)$被称作后验概率，指的是获得“事件$A$发生了”这个信息后原因$B_k$出现的概率，后验概率可以看做是先验概率在获取了新信息之后的一种修正。